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模板/图/关键路径.cpp

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+#include <iostream>
+#include <vector>
+#include <queue>
+#include <algorithm>
+#include <limits>
+using namespace std;
+
+/*
+ * 关键路径算法基于 AOE 网络（Activity on Edge）
+ * 图必须是有向无环图（DAG）
+ * 每条边 (u -> v) 表示一个活动，权值 w 表示活动耗时
+ *
+ * 核心步骤：
+ *   1. 用拓扑排序顺序计算每个事件的最早发生时间 ve[]
+ *   2. 逆拓扑顺序计算每个事件的最晚发生时间 vl[]
+ *   3. 找出所有满足 ve[u] + w == vl[v] 的活动（关键活动）
+ *   4. 关键活动连线形成关键路径
+ */
+
+struct Edge {
+    int to;     // 终点事件编号
+    int w;      // 活动耗时
+};
+
+int main() {
+    int n, e;
+    cin >> n >> e;
+
+    vector<vector<Edge>> adj(n);    // 邻接表：活动在边上
+    vector<int> indeg(n, 0);        // 各事件的入度
+
+    int u, v, w;
+    for (int i = 0; i < e; i++) {
+        cin >> u >> v >> w;
+        adj[u].push_back({v, w});
+        indeg[v]++;                 // 事件 v 的前置事件数加 1
+    }
+
+    //
+    // 第一步：拓扑排序，计算 ve[]
+    //
+    vector<int> topo;               // 拓扑序
+    queue<int> q;                   // 用普通队列即可（要求的是顺序，不是字典序）
+    vector<int> ve(n, 0);           // 事件最早发生时间（从起点开始的最长路径）
+
+    // 入度为 0 的事件作为起始点
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        if (indeg[i] == 0) q.push(i);
+    }
+
+    while (!q.empty()) {
+        int x = q.front(); q.pop();
+        topo.push_back(x);
+
+        // 用此事件更新其后继事件的最早发生时间
+        for (auto &edge : adj[x]) {
+            int y = edge.to;
+            int cost = edge.w;
+
+            // ve[y] = max(ve[y], ve[x] + cost)
+            ve[y] = max(ve[y], ve[x] + cost);
+
+            // 拓扑排序削减入度
+            if (--indeg[y] == 0) {
+                q.push(y);
+            }
+        }
+    }
+
+    // 如果拓扑序中事件数 != n，则图中存在环
+    if ((int)topo.size() != n) {
+        cout << "The graph has a cycle. Critical path undefined." << endl;
+        return 0;
+    }
+
+    //
+    // 第二步：逆拓扑序，计算 vl[]
+    //
+    vector<int> vl(n, numeric_limits<int>::max());
+
+    // 终点事件的最晚时间 = 其最早时间
+    // 注意：可能有多个终点，因此我们取所有 ve[] 中的最大值
+    int maxEndTime = 0;
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        maxEndTime = max(maxEndTime, ve[i]);
+    }
+
+    // 所有事件的最晚事件先设为 maxEndTime
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        vl[i] = maxEndTime;
+    }
+
+    // 按拓扑序的反顺序遍历
+    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
+        int x = topo[i];
+
+        // 遍历 x 的所有后继活动
+        for (auto &edge : adj[x]) {
+            int y = edge.to;
+            int cost = edge.w;
+
+            // vl[x] = min(vl[x], vl[y] - cost)
+            vl[x] = min(vl[x], vl[y] - cost);
+        }
+    }
+
+    //
+    // 第三步：找关键活动（关键边）
+    //
+    cout << "Critical Activities:" << endl;
+
+    for (int x = 0; x < n; x++) {
+        for (auto &edge : adj[x]) {
+            int y = edge.to;
+            int cost = edge.w;
+
+            // 判断活动 (x -> y) 是否关键
+            if (ve[x] + cost == vl[y]) {
+                cout << x << " -> " << y << " (cost = " << cost << ")" << endl;
+            }
+        }
+    }
+
+    cout << "Total project time = " << maxEndTime << endl;
+
+    return 0;
+}