diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/README.MD b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/README.MD index 7be146c..d562f4d 100644 --- a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/README.MD +++ b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/README.MD @@ -569,6 +569,142 @@ deleteKey(node, k): --- +✅ 对的，你理解完全正确！我帮你梳理一下： + +--- + +### 在 B-树删除时，如果要删除的关键字 `x->keys[i]` 在**内部节点**： + +* **前驱（predecessor）** + + * 就是 `x->children[i]` 这个子树中的最大值。 + * 为什么？因为 `x->children[i]` 里所有关键字都 **小于** `x->keys[i]`，而前驱就是其中最大的。 + * 找法：一路往右孩子走直到叶子，拿到最后一个 key。 + * 伪代码： + + ```cpp + Node* cur = x->children[i]; + while (!cur->isLeaf) cur = cur->children.back(); + T predecessor = cur->keys.back(); + ``` + +* **后继（successor）** + + * 就是 `x->children[i+1]` 这个子树中的最小值。 + * 为什么？因为 `x->children[i+1]` 里所有关键字都 **大于** `x->keys[i]`，而后继就是其中最小的。 + * 找法：一路往左孩子走直到叶子，拿到第一个 key。 + * 伪代码： + + ```cpp + Node* cur = x->children[i+1]; + while (!cur->isLeaf) cur = cur->children.front(); + T successor = cur->keys.front(); + ``` + +--- + +### 删除时的策略 + +* 如果前驱所在子树 `x->children[i]` 有 ≥ t 个 key： + + * 用前驱替代 `x->keys[i]`，再递归删除前驱。 +* 否则如果后继所在子树 `x->children[i+1]` 有 ≥ t 个 key： + + * 用后继替代 `x->keys[i]`，再递归删除后继。 +* 否则（两个子树都只有 t-1 个 key）： + + * 把 `x->keys[i]` 下移到左子树，和右子树合并，再递归删除。 + +--- + +📘 **直观理解**： +`x->keys[i]` 在父节点，它左边整个子树都比它小，右边整个子树都比它大。 +所以前驱就是左子树里最大值，后继就是右子树里最小值。 + +--- + +要不要我帮你画一个 **图解例子**（比如 `t=2` 的 B 树，删除一个内部节点的情况），演示「前驱替代」和「后继替代」的区别？ + + 如果你需要，我可以帮你 **写一个完整的 C++ B 树删除函数实现**，直接和你已有的 `BTree` 类整合，并附详细注释。 你希望我帮你写吗？ + +--- +``` html +总结： +1、删除 +2、查看是否下溢出 +3、下溢出： + a.左右节点可以借(大于t - 1) + 父亲下来，借的成为父亲 + b.不可以借 + 和兄弟合并 + 总结得很到位 👍，我帮你整理一下，更系统一些，方便你以后复习 B-树删除算法。 +``` +--- + +## 🌳 B-树删除算法总结 + +### 1. 删除目标 + +* **在叶子节点找到 key** + 👉 直接删除，不涉及复杂调整。 + +* **在内部节点找到 key** + 👉 不能直接删，而是通过 **前驱 / 后继替代** 或 **合并** 来保持 B-树平衡。 + +--- + +### 2. 删除步骤总览 + +1. **删除目标 key** + + * 在叶子：直接删。 + * 在内部：找前驱或后继替换，再递归删除。 + +2. **检查是否下溢（underflow）** + + * B-树的每个节点至少要有 `t - 1` 个 key（除了根）。 + * 如果某个子节点删除后不足 `t - 1`，则发生下溢。 + +3. **处理下溢** + + * **a. 向兄弟借关键字（兄弟 ≥ t）** + + * 父节点“下放”一个关键字到下溢的节点，兄弟的关键字“上升”到父节点。 + * 保证节点恢复到 ≥ `t - 1`。 + * 📌 这是 **旋转（rotation）** 操作。 + + * **b. 无法借（兄弟也是 t - 1） → 合并** + + * 将下溢节点、父节点中一个关键字、兄弟节点 **合并** 成一个节点。 + * 父节点关键字数减少 1。 + * 如果父节点变空，整棵树高度减 1（根被替换）。 + +--- + +### 3. 前驱 / 后继选择 + +* **前驱**：`x->keys[i]` 的左子树 `x->children[i]` 中的最大值。 +* **后继**：`x->keys[i]` 的右子树 `x->children[i+1]` 中的最小值。 +* 替代规则： + + * 左子树有足够关键字（≥ t），用前驱替代。 + * 否则若右子树有足够关键字（≥ t），用后继替代。 + * 否则左右子树都不够，执行合并。 + +--- + +### 📌 最简总结版（你说的很对） + +1. 删除目标 key。 +2. 如果节点关键字数 ≥ `t - 1`，不用处理。 +3. 如果 < `t - 1`（下溢）： + + * **能借** → 借兄弟。 + * **不能借** → 合并兄弟和父节点关键字。 + +--- + +要不要我帮你画一个小例子（`t=2` 的 B-树），演示 **借** 和 **合并** 两种下溢处理，这样你一眼就能看懂？ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/1.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/1.png new file mode 100644 index 0000000..4935f44 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/1.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/2.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/2.png new file mode 100644 index 0000000..6ed39b5 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/2.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/3.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/3.png new file mode 100644 index 0000000..29db8c9 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/3.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/4.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/4.png new file mode 100644 index 0000000..1c5a8cd Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/4.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/5.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/5.png new file mode 100644 index 0000000..14d29a6 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/5.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/6.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/6.png new file mode 100644 index 0000000..3956fcf Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/erase/6.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/1.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/1.png new file mode 100644 index 0000000..2006ef4 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/1.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/10.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/10.png new file mode 100644 index 0000000..4934df5 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/10.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/2.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/2.png new file mode 100644 index 0000000..0861394 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/2.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/3.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/3.png new file mode 100644 index 0000000..9c18803 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/3.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/4.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/4.png new file mode 100644 index 0000000..5213906 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/4.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/5.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/5.png new file mode 100644 index 0000000..0a4f833 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/5.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/6.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/6.png new file mode 100644 index 0000000..590b31c Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/6.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/7.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/7.png new file mode 100644 index 0000000..f4b1712 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/7.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/8.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/8.png new file mode 100644 index 0000000..1bad29f Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/8.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/9.png b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/9.png new file mode 100644 index 0000000..7f3ae28 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/B-Tree/img/insert/9.png differ diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/Red-Black Tree/README.MD b/BinaryTree/BalanceTree/Red-Black Tree/README.MD index a36e8e2..412dc7e 100644 --- a/BinaryTree/BalanceTree/Red-Black Tree/README.MD +++ b/BinaryTree/BalanceTree/Red-Black Tree/README.MD @@ -261,3 +261,54 @@ 你希望我画吗？ +--- +没错 ✅，你总结得非常到位。 + +这是二叉搜索树（BST）**删除的基本套路**，红黑树只是额外多了颜色和修复步骤而已。 + +--- + +### 普通 BST 的删除分类 + +假设删除的节点是 `z`： + +1. **没有孩子（叶子）** + → 直接删。 + +2. **只有一个孩子** + → 用孩子替换它。 + +3. **有两个孩子** + → 找 **中序后继（右子树最小）** 或 **中序前驱（左子树最大）**， + + * 把 `y.key` 复制到 `z.key`； + * 实际删除 `y`（而 `y` 一定是“最多一个孩子”的情况）。 + +所以 **情况 3 总是能转化为情况 1 或 2**。 + +--- + +### 为什么后继/前驱最多只有一个孩子？ + +比如用 **后继**（右子树最小的节点）来说明： + +* `y` 在 `z.right` 里，且 `y` 是最靠左的。 +* 所以 `y` 不可能有左孩子（否则就不是最左的了）。 +* 因此 `y` 要么没有孩子，要么只有右孩子。 + +对称地，用前驱的话，也必然是“没有孩子或只有左孩子”。 + +--- + +### 到红黑树这里 + +红黑树继承了 BST 结构，所以删除逻辑一样： + +* 如果 `z` 有两个孩子，**我们实际删的就是它的后继/前驱 `y`**，而不是直接删 `z`。 +* 这就是你说的“删除下移”。 + +真正复杂的地方在于：**如果被删的是黑色节点**，就需要一整套 `fixup` 来维持红黑树的平衡。 + +--- + +要不要我帮你把“3 种情况 → 转化为 2 种简单情况”的流程画成一个 **决策图（删除流程图）**？这样会更直观。 diff --git a/BinaryTree/BalanceTree/Red-Black Tree/info.jpg b/BinaryTree/BalanceTree/Red-Black Tree/info.jpg new file mode 100644 index 0000000..e5326b9 Binary files /dev/null and b/BinaryTree/BalanceTree/Red-Black Tree/info.jpg differ