好——我把 **KMP（Knuth–Morris–Pratt）算法** 讲得尽量细致、直观并配上代码与举例，帮助你完全搞清楚它的思想、实现与常见的下标/`next`（或 `pi`）定义差异。

# 1) 问题与直观想法

目标：在长度为 `n` 的主串 `s` 中查找长度为 `m` 的模式串 `p` 是否出现，并返回第一次出现的位置（下标从 0 开始）。
朴素做法在遇到失配时会把模式整段右移 1，可能导致重复比较，最坏 `O(n*m)`。
KMP 的关键：当模式在某个位置发生部分匹配然后失配时，利用已经匹配的信息**不回头重比**，直接把模式滑动到可以继续利用已匹配前缀的位置，从而保证整体复杂度线性 `O(n + m)`。

# 2) 前缀函数（prefix function / π 或常说的 next）

常用的定义（0 基）——称为 `pi[i]`：

> `pi[i]` 表示模式 `p[0..i]`（长度 `i+1`）的 **最长的真前缀（proper prefix）同时也是后缀（suffix）** 的长度。

例：若 `p = "ababaca"`，则

```
i:   0 1 2 3 4 5 6
p:   a b a b a c a
pi:  0 0 1 2 3 0 1
```

解释：例如 `pi[4] = 3` 表示 `p[0..2] == p[2..4] == "aba"`。

**注意：** 文献里 `next` 数组有多种约定。有的把 `next[i] = pi[i-1]`，也有的把 `next[i] = pi[i-1] + 1`（1-based 的位置）。务必分清你所用的下标约定。下面我用最常见的 0-based `pi`，它和匹配阶段的 `j = pi[j-1]` 关系最直接。

# 3) 如何线性时间构造 `pi`（核心技巧）

思路：用已经计算出的 `pi` 值“回退”来扩展新位置，而不是每次从头匹配。
伪代码（0-based）:

```
pi[0] = 0
j = 0   // 当前已匹配的长度（也是 p 的下一个比较下标）
for i = 1 .. m-1:
    while j > 0 and p[i] != p[j]:
        j = pi[j-1]    // 回退到较短的已知匹配
    if p[i] == p[j]:
        j += 1
    pi[i] = j
```

时间复杂度：每个 `i` 的 `while` 回退总次数在整个过程是 O(m)（每次回退减少 `j`），所以构造 `pi` 是线性时间 O(m)。

# 4) 匹配阶段（利用 `pi`）

匹配 `s`（长度 `n`）与 `p`（长度 `m`）：

```
j = 0   // 当前匹配到模式的长度
for i = 0 .. n-1:
    while j > 0 and s[i] != p[j]:
        j = pi[j-1]    // 失配时回退，利用前缀信息
    if s[i] == p[j]:
        j += 1
    if j == m:
        // 找到一次 Occurrence，起始下标 = i - m + 1
        return i - m + 1   // 若只要第一次出现
        // 若想继续找下一个，可 j = pi[j-1]
```

关键：当发生失配时，我们并不是把 `j` 置为 0，而是设置为 `pi[j-1]`（可能为 0 或更小），这样保证不会重新比较已经确认匹配过的字符，从而节省工作。

# 5) 小例子演示（一步步算 `pi`，并演示一次匹配失配后的回退）

**构造 `pi` 的例子**： `p = "ababaca"`（如上）
我们已经给出 `pi = [0,0,1,2,3,0,1]`。在 i=5 时（字符 `c`），之前 j=3（表示已匹配 `"aba"`），但 `p[5] != p[3]`，于是回退 `j = pi[2] = 1`，再比较，若仍不等继续回退... 这就是 `while j>0` 的意义。

**匹配中的回退示意**：
取 `s = "ababcababaca"`, `p = "ababaca"`。
匹配到 `i = 4` 时，可能出现失配（示例中 `s[4] = c`，`p[4] = a`），我们不用把 `i` 回到 `i - j + 1 + 1` 再重新从 `j=0` 开始，而是把 `j` 设为 `pi[j-1]`（例如从 4 回退到 2、再回退到 0），然后继续用当前 `i` 与新 `j` 比较 —— 节省了重复比较已经确认的前缀。

# 6) 复杂度与空间

* 构建 `pi`：O(m) 时间，O(m) 空间（存 `pi`）。
* KMP 匹配（一次完整查找）：O(n) 时间（匹配阶段），总共 O(n + m)。
* 常数空间（除了 `pi` 数组以外）。

# 7) 关于 `next` / `pi` 的下标约定（容易混淆）

* 我常用的 `pi[i]` 是长度（0-based）。
* 有些题目/实现中会直接把 `next[j]` 当作“当在模式的第 j 个位置失配时，下次应该从模式的哪个位置继续匹配”的值。

  * 若问题给的 `j` 是 1-based 的位置，你会看到 `next[j] = pi[j-1] + 1`（把长度变成“1-based 的位置”）。
  * 若问题给的 `j` 是 0-based 的位置或要求输出 `pi[j-1]`，你就按 `pi[j-1]` 输出（这是你之前题目里的做法：`j = m/4, 2m/4, 3m/4`，输出 `pi[j-1]`）。
    总结：**遇到输出/题意时先确认下标是 0-based 还是 1-based，再决定是否要 +1 的位移**。

# 8) 对你之前样例的说明（与题目要求的映射）

你之前的样例：`p = "abcabcabcabc"`, `m = 12`。
计算 `pi`（0-based）会得到：

```
pi = [0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]
```

题里要求输出 `j = m/4, 2m/4, 3m/4` 处的值（以他们的约定，要输出 `next[j]` 或 `f[j-1]+1`），在我们用 0-based `pi` 的实现里对应的就是 `pi[j-1]`：

* j = 3 -> 输出 `pi[2] = 0`
* j = 6 -> 输出 `pi[5] = 3`
* j = 9 -> 输出 `pi[8] = 6`
  正好是样例 `0 3 6`。

# 9) 参考实现（C++，带注释 —— 与之前题目输出约定一致）

```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 构造 pi 数组（0-based）
vector<int> buildPi(const string &p) {
    int m = (int)p.size();
    vector<int> pi(m, 0);
    int j = 0;
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
        while (j > 0 && p[i] != p[j]) j = pi[j - 1];
        if (p[i] == p[j]) ++j;
        pi[i] = j;
    }
    return pi;
}

// KMP 搜索，返回 p 在 s 中首次出现的起始下标（若无返回 -1）
int kmpSearchFirst(const string &s, const string &p, const vector<int> &pi) {
    int n = (int)s.size(), m = (int)p.size();
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        while (j > 0 && s[i] != p[j]) j = pi[j - 1];
        if (s[i] == p[j]) ++j;
        if (j == m) {
            return i - m + 1;
        }
    }
    return -1;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    string s, p;
    // 读两行（主串和模式串）
    if (!getline(cin, s)) return 0;
    if (!getline(cin, p)) return 0;

    int m = (int)p.size();
    vector<int> pi = buildPi(p);

    // j1, j2, j3 分别为 m/4, 2m/4, 3m/4（整除向下）
    int j1 = m / 4;
    int j2 = 2 * m / 4;
    int j3 = 3 * m / 4;

    auto getVal = [&](int j) -> int {
        if (j <= 0) return 0;        // 若 j==0（极小 m 的情况），按题意可以返回 0
        return pi[j - 1];           // 输出 pi[j-1]
    };

    cout << getVal(j1) << " " << getVal(j2) << " " << getVal(j3) << " \n";
    cout << kmpSearchFirst(s, p, pi) << "\n";

    return 0;
}
```

这段代码与我们上面的理论一致：`pi[i]` 存最长相等前后缀长度；对于题里要求的 “在模式串第 j 处失配后下一次匹配的位置” 输出 `pi[j-1]`（当把 `j` 看成从 1 开始的位置时）。我在 `getVal` 中也对 `j <= 0` 做了保护，避免越界（实际在线测评一般 `m >= 4`，但加上保险更稳健）。

# 10) 小结与常见坑

* 核心在于 **前缀函数 `pi`** 的正确理解和构造；匹配阶段使用 `j = pi[j-1]` 来回退。
* 小心 **下标约定**（0-based vs 1-based）：很多题把 `next` 定义为 `pi[j-1]` 或 `pi[j-1]+1`，看清题目要求再输出。
* 边界情况：`m = 0` 或 `m` 非常小要注意越界检查。（通常题目会保证 `m >= 1`。）

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如果你愿意我可以：

* 把上面的 C++ 程序逐步在一个具体例子上“手动运行”并显示每一步 `i, j, pi` 的变化，帮助你更直观地理解；或
* 给出一个 Python 版本；或
* 讲讲 KMP 的一些变体（比如计算全部出现位置、在线流式匹配、或与 Z 算法的比较）。

你想先看哪一种？