好——我把 KMP（Knuth–Morris–Pratt）算法 讲得尽量细致、直观并配上代码与举例，帮助你完全搞清楚它的思想、实现与常见的下标/next（或 pi）定义差异。
1) 问题与直观想法
目标：在长度为 n 的主串 s 中查找长度为 m 的模式串 p 是否出现，并返回第一次出现的位置（下标从 0 开始）。
朴素做法在遇到失配时会把模式整段右移 1，可能导致重复比较，最坏 O(n*m)。
KMP 的关键：当模式在某个位置发生部分匹配然后失配时，利用已经匹配的信息不回头重比，直接把模式滑动到可以继续利用已匹配前缀的位置，从而保证整体复杂度线性 O(n + m)。
2) 前缀函数（prefix function / π 或常说的 next）
常用的定义（0 基）——称为 pi[i]：
pi[i]表示模式p[0..i]（长度i+1）的 最长的真前缀（proper prefix）同时也是后缀（suffix） 的长度。
例：若 p = "ababaca"，则
i: 0 1 2 3 4 5 6
p: a b a b a c a
pi: 0 0 1 2 3 0 1
解释：例如 pi[4] = 3 表示 p[0..2] == p[2..4] == "aba"。
注意： 文献里 next 数组有多种约定。有的把 next[i] = pi[i-1]，也有的把 next[i] = pi[i-1] + 1（1-based 的位置）。务必分清你所用的下标约定。下面我用最常见的 0-based pi，它和匹配阶段的 j = pi[j-1] 关系最直接。
3) 如何线性时间构造 pi（核心技巧）
思路：用已经计算出的 pi 值“回退”来扩展新位置，而不是每次从头匹配。
伪代码（0-based）:
pi[0] = 0
j = 0 // 当前已匹配的长度（也是 p 的下一个比较下标）
for i = 1 .. m-1:
while j > 0 and p[i] != p[j]:
j = pi[j-1] // 回退到较短的已知匹配
if p[i] == p[j]:
j += 1
pi[i] = j
时间复杂度：每个 i 的 while 回退总次数在整个过程是 O(m)（每次回退减少 j），所以构造 pi 是线性时间 O(m)。
4) 匹配阶段（利用 pi）
匹配 s（长度 n）与 p（长度 m）：
j = 0 // 当前匹配到模式的长度
for i = 0 .. n-1:
while j > 0 and s[i] != p[j]:
j = pi[j-1] // 失配时回退，利用前缀信息
if s[i] == p[j]:
j += 1
if j == m:
// 找到一次 Occurrence，起始下标 = i - m + 1
return i - m + 1 // 若只要第一次出现
// 若想继续找下一个，可 j = pi[j-1]
关键：当发生失配时，我们并不是把 j 置为 0，而是设置为 pi[j-1]（可能为 0 或更小），这样保证不会重新比较已经确认匹配过的字符，从而节省工作。
5) 小例子演示（一步步算 pi，并演示一次匹配失配后的回退）
构造 pi 的例子： p = "ababaca"（如上）
我们已经给出 pi = [0,0,1,2,3,0,1]。在 i=5 时（字符 c），之前 j=3（表示已匹配 "aba"），但 p[5] != p[3]，于是回退 j = pi[2] = 1，再比较，若仍不等继续回退... 这就是 while j>0 的意义。
匹配中的回退示意：
取 s = "ababcababaca", p = "ababaca"。
匹配到 i = 4 时，可能出现失配（示例中 s[4] = c，p[4] = a），我们不用把 i 回到 i - j + 1 + 1 再重新从 j=0 开始，而是把 j 设为 pi[j-1]（例如从 4 回退到 2、再回退到 0），然后继续用当前 i 与新 j 比较 —— 节省了重复比较已经确认的前缀。
6) 复杂度与空间
- 构建
pi：O(m) 时间，O(m) 空间（存pi）。 - KMP 匹配（一次完整查找）：O(n) 时间（匹配阶段），总共 O(n + m)。
- 常数空间（除了
pi数组以外）。
7) 关于 next / pi 的下标约定（容易混淆）
-
我常用的
pi[i]是长度（0-based）。 -
有些题目/实现中会直接把
next[j]当作“当在模式的第 j 个位置失配时，下次应该从模式的哪个位置继续匹配”的值。- 若问题给的
j是 1-based 的位置，你会看到next[j] = pi[j-1] + 1（把长度变成“1-based 的位置”）。 - 若问题给的
j是 0-based 的位置或要求输出pi[j-1]，你就按pi[j-1]输出（这是你之前题目里的做法：j = m/4, 2m/4, 3m/4，输出pi[j-1]）。 总结：遇到输出/题意时先确认下标是 0-based 还是 1-based，再决定是否要 +1 的位移。
- 若问题给的
8) 对你之前样例的说明（与题目要求的映射）
你之前的样例：p = "abcabcabcabc", m = 12。
计算 pi（0-based）会得到：
pi = [0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]
题里要求输出 j = m/4, 2m/4, 3m/4 处的值（以他们的约定，要输出 next[j] 或 f[j-1]+1），在我们用 0-based pi 的实现里对应的就是 pi[j-1]：
- j = 3 -> 输出
pi[2] = 0 - j = 6 -> 输出
pi[5] = 3 - j = 9 -> 输出
pi[8] = 6正好是样例0 3 6。
9) 参考实现（C++，带注释 —— 与之前题目输出约定一致）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 构造 pi 数组（0-based）
vector<int> buildPi(const string &p) {
int m = (int)p.size();
vector<int> pi(m, 0);
int j = 0;
for (int i = 1; i < m; ++i) {
while (j > 0 && p[i] != p[j]) j = pi[j - 1];
if (p[i] == p[j]) ++j;
pi[i] = j;
}
return pi;
}
// KMP 搜索，返回 p 在 s 中首次出现的起始下标（若无返回 -1）
int kmpSearchFirst(const string &s, const string &p, const vector<int> &pi) {
int n = (int)s.size(), m = (int)p.size();
int j = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
while (j > 0 && s[i] != p[j]) j = pi[j - 1];
if (s[i] == p[j]) ++j;
if (j == m) {
return i - m + 1;
}
}
return -1;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
string s, p;
// 读两行（主串和模式串）
if (!getline(cin, s)) return 0;
if (!getline(cin, p)) return 0;
int m = (int)p.size();
vector<int> pi = buildPi(p);
// j1, j2, j3 分别为 m/4, 2m/4, 3m/4（整除向下）
int j1 = m / 4;
int j2 = 2 * m / 4;
int j3 = 3 * m / 4;
auto getVal = [&](int j) -> int {
if (j <= 0) return 0; // 若 j==0（极小 m 的情况），按题意可以返回 0
return pi[j - 1]; // 输出 pi[j-1]
};
cout << getVal(j1) << " " << getVal(j2) << " " << getVal(j3) << " \n";
cout << kmpSearchFirst(s, p, pi) << "\n";
return 0;
}
这段代码与我们上面的理论一致：pi[i] 存最长相等前后缀长度；对于题里要求的 “在模式串第 j 处失配后下一次匹配的位置” 输出 pi[j-1]（当把 j 看成从 1 开始的位置时）。我在 getVal 中也对 j <= 0 做了保护，避免越界（实际在线测评一般 m >= 4，但加上保险更稳健）。
10) 小结与常见坑
- 核心在于 前缀函数
pi的正确理解和构造；匹配阶段使用j = pi[j-1]来回退。 - 小心 下标约定（0-based vs 1-based）：很多题把
next定义为pi[j-1]或pi[j-1]+1，看清题目要求再输出。 - 边界情况：
m = 0或m非常小要注意越界检查。（通常题目会保证m >= 1。）
如果你愿意我可以：
- 把上面的 C++ 程序逐步在一个具体例子上“手动运行”并显示每一步
i, j, pi的变化，帮助你更直观地理解；或 - 给出一个 Python 版本；或
- 讲讲 KMP 的一些变体（比如计算全部出现位置、在线流式匹配、或与 Z 算法的比较）。
你想先看哪一种？