# 第六章 核光滑

KNN引入，对30-NN来说，拟合的函数并不连续，“不连续是不好看并且不必要的”，“我们可以分 配权重,使其随着与目标点的距离平滑降低.”

**核：“根据距离远近分配发言权的投票机制。”“核”本质上都在回答一个问题：两个点之间到底有多“亲近”？**

在统计学和机器学习中，**Nadaraya–Watson 核回归（Nadaraya–Watson Kernel Regression）** 是一种非参数预测方法。它的核心思想是：**对于一个新的输入点** $x$**，其预测值** $\hat{f}(x)$ **是训练集中所有目标值** $y_i$ **的加权平均**，而权重的大小取决于训练点 $x_i$ 与查询点 $x$ 之间的距离。

距离越近的点，权重越大；距离越远的点，权重越小。

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### 1. 数学表达式

假设我们有训练数据集 $\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)\}$，对于给定的输入 $x$，Nadaraya-Watson 核回归的估算式为：

$$\hat{f}(x) = \sum_{i=1}^{n} w(x, x_i) y_i$$

其中，$w(x, x_i)$ 是**核权重**，定义为：

$$w(x, x_i) = \frac{K\left(\frac{x - x_i}{h}\right)}{\sum_{j=1}^{n} K\left(\frac{x - x_j}{h}\right)}$$

将权重带入回归公式，得到完整的 Nadaraya–Watson 表达式：

$$\hat{f}(x) = \frac{\sum_{i=1}^{n} K\left(\frac{x - x_i}{h}\right) y_i}{\sum_{j=1}^{n} K\left(\frac{x - x_j}{h}\right)}$$

**符号说明：**

- $K(\cdot)$：**核函数（Kernel function）**。常用的有高斯核 $K(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{u^2}{2}}$。它必须是非负的，且通常在 0 处取得最大值。
    
- $h$：**带宽（Bandwidth）**。这是最重要的超参数。$h$ 越大，平滑程度越高（可能欠拟合）；$h$ 越小，曲线越波动（可能过拟合）。
    
- 分母：用于**归一化**，确保所有权重的总和为 1。
    

### 2. 优缺点

- **优点**：不需要假设数据的具体分布（是非参数的），能够拟合非常复杂的非线性关系。
    
- **缺点**：计算量大（预测每个点都要遍历整个训练集，复杂度 $O(n)$）；容易受“边界偏差”影响；在高维空间表现较差（维度灾难）。
    

- 核函数在非参数估计中充当局部加权机制，使得函数估计在某一点附近主要依赖邻域数据；当与局部多项式拟合结合时，其效果类似于对目标函数在该点进行加权的局部泰勒近似。
    

流形：约束、自由度、轨道

- 高维展开：**把复杂函数拆成低维函数的叠加，主动砍掉高阶交互**
    

**可变系数模型**的定义及其**局部加权最小二乘**估计式：

### 1. 可变系数模型 (Varying Coefficient Model)

该式定义了条件线性模型，其中系数是变量 $Z$ 的函数：

$f(X) = \alpha(Z) + \beta_1(Z)X_1 + \dots + \beta_q(Z)X_q {}$

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### 2. 局部加权最小二乘估计 (Locally Weighted Least Squares)

该式展示了如何通过目标函数最小化来拟合给定点 $z_0$ 处的参数：

$\min_{\alpha(z_0), \beta(z_0)} \sum_{i=1}^{N} K_\lambda(z_0, z_i) \left( y_i - \alpha(z_0) - x_{1i}\beta_1(z_0) - \dots - x_{qi}\beta_q(z_0) \right)^2 {}$

> 高维函数太复杂 → 用 ANOVA 分解 → 再人为限制只保留低阶结构 → 用 backfitting 或局部回归去估计

### 1. 可变系数模型 (Varying Coefficient Models)

**可变系数模型**是线性模型的推广。它保留了线性模型的易解释性，但允许系数不再是常数，而是随着另一个变量 $Z$（称为调节变量）的变化而变化。

- **核心方程：**
    
    $$f(X) = \alpha(Z) + \beta_1(Z)X_1 + \dots + \beta_q(Z)X_q$$
    
- **直观理解：** 想象你在研究“工龄”对“薪资”的影响。在线性模型中，这个影响（斜率）是固定的；但在可变系数模型中，这个斜率可以随“行业类型”或“地理位置”($Z$) 而平滑变化。
    
- **拟合方法：** 通常使用**局部回归**（如式 6.17 所示）。在每一个特定的 $z_0$ 附近，利用核函数 $K_\lambda$ 对样本加权，只看邻近的数据点来估算当前的 $\alpha(z_0)$ 和 $\beta(z_0)$。
    

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### 2. 后验拟合算法 (Backfitting Algorithm)

当模型变得复杂（例如**加法模型** $Y = \sum f_j(X_j) + \epsilon$）时，我们无法一次性拟合所有非参数函数。**Backfitting** 是一种“分而治之”的迭代算法。

#### **算法逻辑：**

1. **初始化：** 先给每个函数 $f_j$ 一个初始值（通常是 0）。
    
2. **循环迭代：** 对于每一个变量 $j$，计算其“残差”：
    
    $$\text{Residual} = Y - \alpha - \sum_{k \neq j} \hat{f}_k(X_k)$$
    
3. **局部更新：** 用这个残差对 $X_j$ 进行平滑处理（如移动平均或样条回归），得到更新后的 $\hat{f}_j$。
    
4. **重复：** 轮流更新所有变量，直到每个函数的变化都非常小（收敛）为止。
    

> **比喻：** 就像调音师调钢琴。先调准一根弦，此时其他弦可能还不准；于是再去调下一根，如此反复循环，直到整台琴的音准达到平衡。

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### 3. 两者的联系

- **应用场景：** Backfitting 通常用于拟合**广义加法模型 (GAM)**。
    
- **计算优势：** 它不需要进行庞大的矩阵求逆，只需反复调用简单的平滑算子（Smoother），这使得它在处理高维数据时非常高效。
    
- **灵活性：** 你可以轻松地在 Backfitting 框架下加入可变系数项，将复杂的非线性关系拆解为一系列简单的局部一维拟合。
    

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**总结表：**

|   |   |   |
|---|---|---|
|**特性**|**可变系数模型**|**Backfitting 算法**|
|**本质**|一种具体的**模型结构**|一种通用的**迭代求解算法**|
|**解决问题**|系数随环境/时间变化的动态性|多个非参数项联立拟合的计算难题|
|**关键点**|局部加权回归|循环更新残差|

这两个概念在处理金融时间序列、流行病学分析以及任何具有“情境相关性”的数据时都非常强大。

在高维情况下，我们不直接拟合 $Y = f(X,Z)$，而是假设：

**X 和 Y 的关系是线性的，但这个线性关系的系数由 Z 决定**

即：

$$Y = \sum_j \beta_j(Z)\, X_j$$

因此问题转化为：**去学习这些函数 $\beta_j(Z)$**

问题：拟合 f(X)
↓（结构假设）ANOVA 分解\加性模型\二阶交互模型\可变系数模型
f(X) = g1(X1) + g2(X2) + ...
↓（优化方法）
backfitting
↓（具体拟合）
核平滑 / spline / 局部回归

“阶数为 的自回归(autoregressive)时间序列形式为

“yt = β0 + β1yt−1 + β2yt−2 + ⋯ + βkyt−k + εt zt = (yt−1, yt−2, ⋯ , yt−k)”

用记滞后集(lag set),模型则看起来是一个标准的线性模型 ,而且 一般使用最小二乘来拟合.采用核为 的局部最小二乘拟合允许模型 根据序列的短期记忆(short-term history of the series)来变化.这区别于更传统 的因窗口时间变化的动态线性模型.”

第六章可能还需要再看，如**核方法**