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title: 1-能量模型
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# 能量模型（Energy-Based Model, EBM）

## 1. EBM 的基本定义

### 1.1 能量函数的定义

**定义 1.1（能量函数）** 设 $x \in \mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^D$ 为观测数据，一个参数化的能量函数定义为：

$$
E_\theta: \mathcal{X} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto E_\theta(x)
$$

其中 $\theta \in \Theta$ 为可学习参数。能量函数 $E_\theta(x)$ 的值可以是任意实数，其物理意义来源于统计物理学——低能量对应高概率状态。

### 1.2 吉布斯分布

**定义 1.2（吉布斯分布）** 基于能量函数，EBM 定义概率分布为：

$$
p_\theta(x) = \frac{\exp(-E_\theta(x))}{Z(\theta)}
$$

其中：
- $\exp(-E_\theta(x))$ 称为玻尔兹曼因子（Boltzmann factor）
- $Z(\theta)$ 是配分函数（Partition Function），定义为：

$$
Z(\theta) = \int \exp\left(-E_\theta(x)\right) dx
$$

**定理 1.1（归一化性）** 由上述定义，$p_\theta(x)$ 满足归一化条件：

$$
\int p_\theta(x) \, dx = \frac{1}{Z(\theta)} \int \exp(-E_\theta(x)) \, dx = 1
$$

### 1.3 EBM 表示任意概率分布的能力

**定理 1.2（通用逼近性）** 给定任意目标概率分布 $p^*(x)$，如果能量函数 $E_\theta(x)$ 足够灵活（如神经网络万能逼近能力），则存在一组参数 $\theta^*$ 使得 $p_\theta(x)$ 任意逼近 $p^*(x)$。

**证明思路**：考虑能量函数 $E_\theta(x) = -\log p^*(x) + C$，其中 $C$ 为归一化常数。则：

$$
p_\theta(x) = \frac{\exp(-E_\theta(x))}{Z(\theta)} = \frac{p^*(x)}{\int p^*(x) dx} = p^*(x)
$$

在实际应用中，我们使用参数化函数 $E_\theta(x)$ 通过学习来拟合目标分布。常见的能量函数形式包括：
- 神经网络：$E_\theta(x) = f_\theta(x)$
- RBM 的能量函数：$E_\theta(x, h) = -b^\top x - c^\top h - h^\top W x$

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## 2. 对数似然梯度推导

### 2.1 配分函数梯度的计算

**引理 2.1** 配分函数 $Z(\theta)$ 对参数 $\theta$ 的梯度为：

$$
\nabla_\theta Z(\theta) = \int \nabla_\theta \exp(-E_\theta(x)) \, dx = \int (-\nabla_\theta E_\theta(x)) \exp(-E_\theta(x)) \, dx
$$

**引理 2.2** 对数配分函数 $\log Z(\theta)$ 的梯度为：

$$
\nabla_\theta \log Z(\theta) = \frac{\nabla_\theta Z(\theta)}{Z(\theta)} = \int (-\nabla_\theta E_\theta(x)) \frac{\exp(-E_\theta(x))}{Z(\theta)} \, dx = \mathbb{E}_{p_\theta(x)}[-\nabla_\theta E_\theta(x)]
$$

### 2.2 对数似然梯度

给定观测数据 $\mathcal{D} = \{x^{(i)}\}_{i=1}^N$，对数似然为：

$$
\mathcal{L}(\theta) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \log p_\theta(x^{(i)})
$$

**定理 2.1（对数似然梯度）** 对数似然 $L(\theta) = \log p_\theta(x)$ 对参数 $\theta$ 的梯度为：

$$
\nabla_\theta \log p_\theta(x) = -\nabla_\theta E_\theta(x) - \mathbb{E}_{p_\theta(x)}[\nabla_\theta E_\theta(x)]
$$

**证明**：

$$
\begin{aligned}
\nabla_\theta \log p_\theta(x) &= \nabla_\theta \left[ -E_\theta(x) - \log Z(\theta) \right] \\
&= -\nabla_\theta E_\theta(x) - \nabla_\theta \log Z(\theta) \\
&= -\nabla_\theta E_\theta(x) - \mathbb{E}_{p_\theta(x)}[-\nabla_\theta E_\theta(x)] \\
&= -\nabla_\theta E_\theta(x) + \mathbb{E}_{p_\theta(x)}[\nabla_\theta E_\theta(x)]
\end{aligned}
$$

注意：一些文献中使用正号约定不同，此处按 $p_\theta(x) \propto \exp(-E_\theta(x))$ 定义。

### 2.3 正相与负相的物理意义

将梯度公式写为期望形式：

$$
\nabla_\theta \log p_\theta(x) = \underbrace{-\nabla_\theta E_\theta(x)}_{\text{正相（positive phase）}} + \underbrace{\mathbb{E}_{p_\theta(x)}[\nabla_\theta E_\theta(x)]}_{\text{负相（negative phase）}}
$$

**正相（Positive Phase）**：对于观测数据 $x$，正相项 $-\nabla_\theta E_\theta(x)$ 增大观测数据的概率。具体而言：
- 如果 $\nabla_\theta E_\theta(x)$ 为负，则正相项为正，驱使能量降低
- 正相降低"真实数据"的能量，提高其概率

**负相（Negative Phase）**：从模型分布 $p_\theta(x)$ 中采样的期望 $\mathbb{E}_{p_\theta(x)}[\nabla_\theta E_\theta(x)]$：
- 代表模型当前认为"可能"的数据
- 负相增大这些样本的能量，压制模型分布中过高概率的区域
- 防止模型过度集中于某一模式（mode collapse）

**物理图景**：能量模型的学习过程可以类比为热力学系统：
- 正相：将真实数据拉向低能量状态（吸引）
- 负相：将模型样本推离低能量状态（排斥）
- 平衡：达到稳态时，负相恰好平衡正相

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## 3. 对比散度（Contrastive Divergence, CD）

### 3.1 精确梯度的不可计算性

**问题 3.1** 精确计算负相期望 $\mathbb{E}_{p_\theta(x)}[\nabla_\theta E_\theta(x)]$ 是 intractable 的，因为：
1. 需要从 $p_\theta(x)$ 中精确采样，但 $Z(\theta)$ 通常不可计算
2. 即使知道 $Z(\theta)$，精确采样也需要 Markov Chain Monte Carlo (MCMC) 的极限分布

### 3.2 CD-k 算法

**算法 3.1（CD-k 算法）**

输入：数据样本 $x$，参数 $\theta$，步数 $k$

1. **初始化**：$\tilde{x}^{(0)} \leftarrow x$
2. **MCMC 步骤**：对于 $t = 0, 1, \ldots, k-1$：
   - **离散 EBM（如 RBM）**：使用 Gibbs 采样
   - **连续高维 EBM**：使用 Langevin 动力学采样（见第 6 节）
3. **返回**：$\tilde{x}^{(k)}$ 作为负相样本的近似

**CD 梯度估计**：

$$
\nabla_\theta \log p_\theta(x) \approx -\nabla_\theta E_\theta(x) + \nabla_\theta E_\theta(\tilde{x}^{(k)})
$$

### 3.3 CD 梯度偏差分析

**定理 3.1（CD 梯度偏差）** CD-k 提供的梯度估计是有偏的，偏差来源为：

$$
\mathbb{E}_{p_\theta(x, \tilde{x}^{(k)})}[\nabla_\theta E_\theta(x)] - \mathbb{E}_{p_\theta(x)}[\nabla_\theta E_\theta(x)] = \text{bias}_k
$$

其中联合分布 $p_\theta(x, \tilde{x}^{(k)})$ 来自从 $x$ 开始的 $k$ 步 MCMC 链。

**性质 3.1**
- 当 $k \to \infty$ 时，$\tilde{x}^{(k)} \sim p_\theta(x)$，偏差趋于零
- 当 $k=1$ 时，CD-1 是最常用的选择，计算效率与估计精度的折中
- CD 梯度估计的方差通常小于精确 MCMC 估计

### 3.4 持续对比散度（Persistent CD, PCD）

**算法 3.2（PCD-k 算法）**

PCD 与 CD 的关键区别在于维护"持久链"（persistent chains）：

1. 维护 $C$ 条独立的 MCMC 链 $\mathcal{C}_1, \ldots, \mathcal{C}_C$
2. 每轮训练后，更新所有持久链的状态
3. 负相样本从更新后的链中取样

**优点**：
- 避免每轮从数据点重新初始化链
- 链在轮次间"持久"，更快收敛到平稳分布
- 适合在线学习设置

**收敛条件**：PCD 需要步长足够小，以确保链能够跟踪缓慢变化的能量 landscape。

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## 4. 伪似然（Pseudolikelihood）

### 4.1 伪似然的定义

**定义 4.1（伪似然）** 伪似然是一种基于条件概率的替代目标函数：

$$
\mathcal{L}_{\text{PL}}(\theta) = \sum_{i=1}^N \log p_\theta(x_i \mid x_{-i})
$$

其中 $x_i$ 表示第 $i$ 个变量，$x_{-i}$ 表示除 $x_i$ 外的所有变量。

对于二元变量或离散的 EBM：

$$
\log p_\theta(x_i \mid x_{-i}) = \log \frac{\exp(-E_\theta(x))}{\sum_{x_i'} \exp(-E_\theta(x_i', x_{-i}))}
$$

### 4.2 与对数似然的关系

**定理 4.1** 伪似然是对数似然的一阶近似，在某些条件下渐近等价。

**证明思路**：利用分解，

$$
\log p_\theta(x) = \sum_{i=1}^D \log p_\theta(x_i \mid x_{<i})
$$

而伪似然使用"逆向"条件：

$$
\mathcal{L}_{\text{PL}}(\theta) = \sum_{i=1}^D \log p_\theta(x_i \mid x_{-i})
$$

对于满足马尔可夫性质的模型（如 RBM），当条件分布 $p_\theta(x_i \mid x_{-i})$ 与 $p_\theta(x_i \mid x_{<i})$ 足够接近时，两者等价。

**定理 4.2（伪似然梯度）** 伪似然的梯度可以写为：

$$
\nabla_\theta \log p_\theta(x_i \mid x_{-i}) = -\nabla_\theta E_\theta(x) + \mathbb{E}_{p_\theta(x_i' \mid x_{-i})}[\nabla_\theta E_\theta(x_i', x_{-i})]
$$

这与对数似然梯度形式相似，但期望仅在 $x_i$ 上计算，降低了计算复杂度。

### 4.3 在图像建模中的应用

**应用 4.1（EBM for Image Generation）** 近年来，EBM 在图像生成中重新受到关注：

- **模型架构**：使用 CNN 或 Transformer 作为能量函数 $E_\theta(x)$
- **训练目标**：伪似然或 CD
- **采样**：Langevin 动力学（见第 6 节）
- **优点**：无需显式归一化常数
- **代表工作**：EBMs for image generation (Du & Mordatch, 2019)

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## 5. 噪声对比估计（Noise Contrastive Estimation, NCE）

### 5.1 NCE 的核心思想

**核心思想**：将估计非归一化分布 $p_\theta(x) \propto \exp(-E_\theta(x))$ 的问题转化为二分类问题：
- 正类：来自真实数据分布 $p_{\text{data}}(x)$
- 负类：来自噪声分布 $q(x)$（如均匀分布、高斯噪声）

### 5.2 目标函数推导

**定义 5.1（二分类问题）** 考虑一个二分类器 $D_\theta(x)$，目标是区分数据 $y=1$（真）和噪声 $y=0$（假）。

**引理 5.1** 后验概率满足：

$$
P(y=1 \mid x) = \frac{p_{\text{data}}(x)}{p_{\text{data}}(x) + \alpha q(x)}
$$

其中 $\alpha$ 是噪声与数据的比例。

**定理 5.1（NCE 目标函数）** 定义逻辑损失：

$$
\mathcal{L}_{\text{NCE}}(\theta) = \mathbb{E}_{x \sim p_{\text{data}}}[\log D_\theta(x)] + \mathbb{E}_{x \sim q}[\log(1 - D_\theta(x))]
$$

其中判别器具有 logit 形式。设**非归一化能量密度** $u_\theta(x) = \exp(-E_\theta(x))$，则：

$$
D_\theta(x) = \sigma\left( \log\frac{u_\theta(x)}{\alpha\, q(x)} \right)
$$

**核心优势**：NCE 无需计算配分函数 $Z(\theta)$，直接通过噪声对比估计归一化常数。

在最优条件下，可以证明：

$$
D_\theta^*(x) = \frac{p_{\text{data}}(x)}{p_{\text{data}}(x) + \alpha q(x)}
$$

### 5.3 与 EBM 的联系

**定理 5.2** 当 $N \to \infty$ 且噪声比例 $\alpha$ 固定时，NCE 估计器满足：

$$
p_\theta(x) \propto \exp(-E_\theta(x))
$$

**证明**：在最优判别器条件下，

$$
\frac{D_\theta^*(x)}{1 - D_\theta^*(x)} = \frac{p_{\text{data}}(x)}{\alpha q(x)} = \frac{u_\theta(x)}{\alpha q(x)}
$$

其中 $u_\theta(x) = \exp(-E_\theta(x))$。从而 $p_\theta(x) \propto u_\theta(x) = \exp(-E_\theta(x))$。

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## 6. Langevin 动力学采样

### 6.1 Langevin 动力学的定义

**定义 6.1（Langevin 动力学）** 对于连续变量 $x \in \mathbb{R}^D$，Langevin 动力学定义为离散时间迭代：

$$
x_{t+1} = x_t - \epsilon \nabla_x E_\theta(x_t) + \sqrt{2\epsilon} \, z_t
$$

其中：
- $\epsilon > 0$ 为步长（learning rate / step size）
- $z_t \sim \mathcal{N}(0, I)$ 为标准高斯噪声
- $\sqrt{2\epsilon} \, z_t$ 是扩散项（diffusion term）

### 6.2 与 MCMC 的关系

**定理 6.1（平稳分布）** 当步长 $\epsilon \to 0$ 且迭代次数 $T \to \infty$ 时，Langevin 动力学的极限分布为吉布斯分布 $p_\theta(x) \propto \exp(-E_\theta(x))$。

**证明（概要）**：
1. Fokker-Planck 方程描述概率密度的演化
2. 稳态条件 $\nabla_x \cdot J = 0$（$J$ 为概率流）
3. 唯一解为 $p_\theta(x) \propto \exp(-E_\theta(x))$

**与传统 MCMC 的比较**：
| 方面 | Metropolis-Hastings | Langevin 动力学 |
|------|---------------------|-----------------|
| 接受率 | 需要计算接受率 | 隐含接受（步长足够小） |
|  proposal | 对称 proposal | 使用梯度信息 |
| 效率 | 低维高效 | 高维更高效 |

### 6.3 步长选择与收敛性

**定理 6.2（收敛条件）** 为保证收敛，需要满足：
1. **步长条件**：$\epsilon < \epsilon_{\max}$，其中 $\epsilon_{\max}$ 与能量函数的 Lipschitz 常数相关
2. **混合时间**：$T_{\text{mix}} = O(D \log(1/\delta))$，其中 $D$ 为维度，$\delta$ 为目标精度

**实践建议**：
- 步长 $\epsilon$ 通常选择 $10^{-4}$ 到 $10^{-2}$ 之间
- 需要 burn-in 阶段（前 $T_0$ 步不采样）
- 可与 MALA（Metropolis-Adjusted Langevin Algorithm）结合以保证精确接受率

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## 7. 与扩散模型的联系

### 7.1 扩散过程概述

**定义 7.1（前向扩散过程）** 给定数据 $x_0 \sim p_{\text{data}}$，定义前向扩散过程 $\{x_t\}_{t=0}^T$：

$$
q(x_t \mid x_{t-1}) = \mathcal{N}(x_t; \sqrt{1 - \beta_t} x_{t-1}, \beta_t I)
$$

其中 $\beta_t \in (0, 1)$ 为噪声调度。

**定义 7.2（反向过程）** 反向过程 $\{p_\theta(x_{t-1} \mid x_t)\}_{t=1}^T$ 是学习的：

$$
p_\theta(x_{t-1} \mid x_t) = \mathcal{N}(x_{t-1}; \mu_\theta(x_t, t), \sigma_t^2 I)
$$

### 7.2 能量函数在 score matching 中的作用

**定义 7.3（Score Function）** 数据分布的 score 定义为：

$$
\nabla_x \log p(x)
$$

**定理 7.1（Score Matching 与 EBM）** Score matching 目标函数为 Fisher 散度，即对齐数据真实得分与模型得分：

$$
\mathcal{L}_{\text{SM}}(\theta) = \mathbb{E}_{p_{\text{data}}(x)} \left[ \Big\| \nabla_x \log p_{\text{data}}(x) - \nabla_x \log p_\theta(x) \Big\|_2^2 \right]
$$

> **注**：原文 $\|\nabla_x \log p_\theta(x)\|^2$ 仅是模型得分平方项，是 Fisher 散度的简化形式（忽略常数项），非原始 Score Matching 损失定义。

与 EBM 的联系：
- 能量模型的梯度对应 score function：$\nabla_x \log p_\theta(x) = -\nabla_x E_\theta(x)$
- 学习能量函数等价于学习 score function

**引理 7.1** 能量函数 $E_\theta(x)$ 与 score function 的关系：

$$
\nabla_x E_\theta(x) = -\nabla_x \log p_\theta(x)
$$

### 7.3 能量视角下的去噪扩散

**定理 7.2（能量视角）** 扩散模型的反向过程可以理解为能量引导的采样：

$$
p_\theta(x_{t-1} \mid x_t) \propto \exp\left( -\frac{\|x_{t-1} - \mu_\theta(x_t, t)\|^2}{2\sigma_t^2} \right)
$$

其中 $\mu_\theta(x_t, t)$ 可以视为由能量函数导出的条件均值。

**物理图景**：
- 前向过程：逐渐向数据添加噪声（熵增）
- 反向过程：学习能量 landscape，逐渐去除噪声
- EBM 提供统一的理论框架连接两部分

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## 附录：常用公式汇总

| 公式 | 表达式 |
|------|--------|
| 吉布斯分布 | $p_\theta(x) = \exp(-E_\theta(x)) / Z(\theta)$ |
| 配分函数 | $Z(\theta) = \int \exp(-E_\theta(x)) dx$ |
| 对数似然梯度 | $\nabla_\theta \log p_\theta(x) = -\nabla_\theta E_\theta(x) - \mathbb{E}_{p_\theta}[\nabla_\theta E_\theta(x)]$ |
| CD-k 梯度 | $\approx -\nabla_\theta E_\theta(x) + \nabla_\theta E_\theta(\tilde{x}^{(k)})$ |
| 伪似然 | $\mathcal{L}_{\text{PL}} = \sum_i \log p_\theta(x_i \mid x_{-i})$ |
| Langevin 动力学 | $x_{t+1} = x_t - \epsilon \nabla_x E_\theta(x_t) + \sqrt{2\epsilon} z_t$ |
| Score function | $\nabla_x \log p(x) = -\nabla_x E(x)$ |

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## 参考文献

1. LeCun, Y., et al. (2006). A tutorial on energy-based learning. *Predicting Structured Data*.
2. Hinton, G. E. (2002). Training products of experts by minimizing contrastive divergence. *Neural Computation*.
3. Du, Y., & Mordatch, I. (2019). Implicit generation and modeling with energy based models. *NeurIPS*.
4. Gutmann, M., & Hyvärinen, A. (2010). Noise-contrastive estimation: A new estimation principle for unnormalized statistical models. *AISTATS*.
5. Welling, M., & Teh, Y. W. (2011). Bayesian learning via stochastic gradient Langevin dynamics. *ICML*.
6. Song, Y., et al. (2021). Score-based generative modeling through stochastic differential equations. *ICLR*.