### Diffusion 扩散模型 DDPM 理解

#### 一、概述
Diffusion是一个类似多层VAE架构的模型，通过输入一个具体的样本 $x$ ，通过不断增加噪音使整个样本最终达到一个**已知的**状态，然后再通过**前向过程确定的真实后验**学习，最终学习到一个近似的$p_\theta(x_{t-1}| x_t)$

#### 二、详细分析
##### 第一部分：噪声处理-马尔可夫链 

![image.png](/image.png)
如图所示，我们人为定义一个**加噪过程**：
$$ x_t = \sqrt{\alpha_t} x_{t - 1} + \sqrt{1 - {\alpha}_t} \epsilon_t ，其中\epsilon_t \sim \mathcal N(0, I) $$

这个式子改写为下面的形式：
$x_t \sim \mathcal N(\sqrt{\alpha_t} x_{t - 1}, (1 - {\alpha}_t) I)$ ，其中前一部分是均值，后一部分是**方差**（协方差矩阵）；
即 
$$ p(x_t|x_{t-1}) = \mathcal N(\sqrt{\alpha_t} x_{t - 1}, (1 - {\alpha}_t) I)$$


由马尔科夫链，**每一个$x_t$只和上一个时间的$x_{t-1}$状态有关**，则我们可以将上述式子推广到：
$x_t = \sqrt{\alpha_t} x_{t - 1} + \sqrt{1 - {\alpha}_t} \epsilon_t$
$x_{t-1} = \sqrt{\alpha_{t-1}} x_{t - 2} + \sqrt{1 - {\alpha}_{t-1}} \epsilon_{t-1}$
$...$
$x_1 = \sqrt{\alpha_1} x_{0} + \sqrt{1 - {\alpha}_1} \epsilon_1$

依次带入上述式子，可以经过化简后得到

$x_t = \sqrt{\bar{\alpha_t}} x_{0} + \sqrt{1 - \bar{{\alpha}_t}} \epsilon'$ ，注意此处是合成后的$\epsilon' \sim \mathcal{N}(0, I)$

与下面三个式子等价
$x_0 = \frac{1}{\sqrt{\bar{\alpha_t}}}(x_t - \sqrt{1 - \bar{{\alpha}_t}} \epsilon')$

$x_t \sim \mathcal N(\sqrt{\bar\alpha_t} x_0, (1 - {\bar\alpha}_t) I)$

$p(x_t|x_{0}) = \mathcal N(\sqrt{\bar\alpha_t} x_0, (1 - {\bar\alpha}_t) I)$

##### 第二部分：学习真实后验分布
我们希望模型学习到**逆向过程的条件分布** $p_\theta(x_{t-1} | x_t)$，用**前向过程的真实后验** $q(x_{t-1} | x_t, x_0)$ 作为指导（训练时近似：$q(x_{t-1} | x_t, x_0) \approx p_\theta(x_{t-1} | x_t)$。对 $q$ 进行贝叶斯展开：

把$x_0$看作先验条件，由 $p(A|B) = \frac{p(B|A) p(A)}{p(B)}$，得到：

$$ q(x_{t-1} | x_t, x_0) = \frac{p(x_t | x_{t-1}, x_0) p(x_{t-1} | x_0)}{p(x_t | x_0)} $$

**由于马尔可夫链的性质，我们可以把等式右边第一项中的 $x_0$ 消掉**，得到：
$$ q(x_{t-1} | x_t, x_0) = \frac{p(x_t | x_{t-1}) p(x_{t-1} | x_0)}{p(x_t | x_0)} $$

接下来计算这三个值：由第一部分，三个概率分布均已知
$$ p(x_t | x_{t-1}) = \mathcal N(\sqrt{\alpha_t} x_{t - 1}, (1 - {\alpha}_t) I) $$
$$ p(x_{t-1} | x_{0}) = \mathcal N(\sqrt{\bar\alpha_{t-1}} x_0, (1 - {\bar\alpha}_{t-1}) I) $$
$$ p(x_t | x_{0}) = \mathcal N(\sqrt{\bar\alpha_t} x_0, (1 - {\bar\alpha}_t) I) $$

将上面三个式子全部改写为单变量正态分布函数：
$$ \rho(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} $$
（注：指数为负）

经过化简（高斯乘积/除法），原式正比于 $e^{a x_{t-1}^2 + b x_{t-1} + c}$ 形式，配方后得到一个高斯分布：均值与 $x_0, x_t$ 有关，方差是个超参数（常量，只和 $\alpha_i$ 有关）。

经过计算得到：
$$ q(x_{t-1} | x_t, x_0) = \mathcal{N}\left( x_{t-1}; \tilde{\mu}_t(x_t, x_0), \tilde{\beta}_t I \right) $$
其中均值：
$$ \tilde{\mu}_t(x_t, x_0) = \frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}} \beta_t}{1 - \bar{\alpha}_t} x_0 + \frac{\sqrt{\alpha_t} (1 - \bar{\alpha}_{t-1})}{1 - \bar{\alpha}_t} x_t $$
方差：
$$ \tilde{\beta}_t = \frac{(1 - \bar{\alpha}_{t-1}) \beta_t}{1 - \bar{\alpha}_t}, \quad \beta_t = 1 - \alpha_t $$
这个 $q$ 就是训练时用于指导 $p_θ$ 学习的近似函数（通过 KL 最小化，简化为噪声预测损失）。