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2025-08-10 18:16:51 +08:00

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左高树 Height-biased Leftist Tree 合并思路

合并两个左高树（Height-biased Leftist Tree, HBLT）是其核心操作，利用递归和左右子树的s(x)（通常指null path length，NPL）来保持“左高性质”和堆序。下面给你完整详细步骤和示例代码。

左高树合并的基本思路

假设有两棵左高树的根节点指针 h1 和 h2，要合并它们，得到合并后的左高树根节点。

主要步骤

处理空树情况
- 如果 h1 是空，直接返回 h2。
- 如果 h2 是空，直接返回 h1。
保证根节点的键值满足最大堆性质
- 如果是最大左高树（Max-Heap），令 h1 的键值大于等于 h2。
- 若 h1->key < h2->key，交换 h1 和 h2。
递归合并
- 将 h2 合并到 h1 的右子树。
- h1->right = merge(h1->right, h2)
保持左高性质（左子树的 null path length ≥ 右子树）
- 如果 s(h1->left) < s(h1->right)，交换左右子树指针。
更新当前节点的 s 值
- s(h1) = s(h1->right) + 1
返回新的根 h1。

伪代码

template<typename T>
struct binaryTreeNode {
    std::pair<int, T> data;  // 键值和负载
    binaryTreeNode *left;
    binaryTreeNode *right;
    int s;  // null path length (NPL)
};

template<typename T>
binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* merge(binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* h1,
                                         binaryTreeNode<std::pair<int, T>>* h2) {
    if (!h1) return h2;
    if (!h2) return h1;

    // 保证最大堆性质，根值较大
    if (h1->data.first < h2->data.first)
        std::swap(h1, h2);

    // 递归合并 h2 到 h1 的右子树
    h1->right = merge(h1->right, h2);

    // 保持左高性质
    int leftNPL = h1->left ? h1->left->s : 0;
    int rightNPL = h1->right ? h1->right->s : 0;
    if (leftNPL < rightNPL)
        std::swap(h1->left, h1->right);

    // 更新当前节点的 s 值
    h1->s = (h1->right ? h1->right->s : 0) + 1;

    return h1;
}

说明

s（null path length）定义为从该节点到其最近的空外部节点（外部节点视为 nullptr）的路径长度。
由于左高树特性，左子树的 s 不小于右子树的 s，合并后通过交换左右子树保证这个性质。
这个合并过程保证了合并操作时间复杂度为 O(log n)。

左高树合并 — 逐步图解（示例：根 50 与根 45）

下面是你给出的两个左高树（Max-Leftist）的逐步合并图解。我把每一步的递归调用、比较、左右交换和 s 值（null path length，定义为：s(nullptr)=0，s(leaf)=1，节点 s = right.s + 1）都写清楚了。

初始两棵树与 s 值计算

Tree A（根 50）

      50(s=2)
     /      \
 40(s=2)   30(s=1)
  /   \
20(s=1) 10(s=1)

计算过程：

s(20)=1, s(10)=1 → s(40)=right.s + 1 = 1 + 1 = 2
s(30)=1（叶子）
s(50)=right.s + 1 = 1 + 1 = 2

Tree B（根 45）

      45(s=2)
     /      \
 35(s=2)   25(s=1)
  /   \
15(s=1) 5(s=1)

计算过程：

s(15)=1, s(5)=1 → s(35)=1 + 1 = 2
s(25)=1（叶子）
s(45)=right.s + 1 = 1 + 1 = 2

合并入口：`merge(50, 45)`

比较根：50 >= 45 → 保留 50 为新根。
按算法把 第二棵树（45）合并到 50 的右子树：

递归调用： merge(50,45) → 需要计算 50->right = merge(30, 45)。

递归 1：`merge(30, 45)`

比较根：30 < 45 → 交换（让数值大的作为子树根），所以在实现上会把参数交换，使 h1 指向 45，h2 指向 30。
结果：以 45 为当前子树根，继续将 h2(30) 合并到 45->right：

递归调用：merge(45,30) → 45->right = merge(25, 30)（因为 45 的右子树原为 25）。

当前（在这一层）状态：

   (暂时) 45
   /   \
 35    25
       (将与 30 合并)

递归 2：`merge(25, 30)`

比较根：25 < 30 → 交换 → 以 30 为根，25 为待合并树。
执行 30->right = merge(30->right, 25)。但原来 30 没有孩子，所以 30->right 是 nullptr。
所以调用变成 merge(nullptr, 25) → 直接返回 25。

所以在这一步，临时构造出：

  30
   \
   25

接下来要维护左高性质（保证 s(left) >= s(right)）：

计算 s 值：原来 30 的左子为空（left_s = 0），右子为 25（right_s = 1）。
因为 left_s < right_s，所以交换左右子树，得到：

   30
  /
25

更新 s(30) = (right ? right.s : 0) + 1 = (nullptr ? 0 : ) + 1 = 0 + 1 = 1

所以 merge(25,30) 返回的子树为：

  30(s=1)
  /
25(s=1)

回到上层（恢复到 45 的层）

把返回的子树作为 45->right：现在 45 的左右子树为

   45
  /  \
35(s=2) 30(s=1)
       /
     25(s=1)

检查并维持左高性质：
- left_s = s(35) = 2
- right_s = s(30) = 1
- left_s >= right_s，不必交换。
更新 s(45) = right.s + 1 = 1 + 1 = 2（保持不变）。

merge(30,45) 到此结束，返回的子树根为 45（其 s=2）。

回到最顶层（恢复到 50 的层）

将上一步得到的子树赋为 50->right，现在 50 的结构为：

        50
       /  \
  40(s=2) 45(s=2)
  /  \   /  \
20 10 35  30
        /\   /
      15 5  25

（为清楚起见：35 下保留 15、5；30 下保留 25）

检查并维持左高性质：
- left_s = s(40) = 2
- right_s = s(45) = 2
- left_s >= right_s（等于也符合），所以不交换。
更新 s(50) = right.s + 1 = 2 + 1 = 3。

最终合并结果（图与 s 值）

         50(s=3)
        /      \
   40(s=2)   45(s=2)
   /   \     /   \
20(1)10(1)35(2) 30(1)
          /\     /
       15(1)5(1)25(1)

说明：

合并过程中确实发生了你关心的“原来右子树的位置（30）被另一棵树的节点（45/35）取代”的情况，这很正常：合并算法优先保证堆序（根值最大），于是较大的根会在递归中“上移”到合适位置。
同时，算法通过「递归合并到右子树」+「必要时交换左右子树」来保持左高性质。最终时间复杂度按树的右路径长度上界（均摊 O(log n)）来保证。

伪代码回顾（便于对应每一步）

Node* merge(Node* h1, Node* h2) {
  if (!h1) return h2;
  if (!h2) return h1;
  if (h1->key < h2->key) swap(h1, h2); // 确保 h1 的根更大（Max-heap）
  h1->right = merge(h1->right, h2);
  // 保持左高：如果左子 s < 右子 s，则交换
  if (npl(h1->left) < npl(h1->right)) swap(h1->left, h1->right);
  h1->s = npl(h1->right) + 1;
  return h1;
}

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