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2025-09-15 22:16:09 +08:00

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动态规划的分类

动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种算法设计范式，用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。它通过将问题分解成更小的子问题，并存储子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。DP 的核心是状态定义、状态转移方程和边界条件。

DP 可以根据问题的结构和状态表示方式进行分类。常见的分类包括线性 DP、区间 DP、树形 DP、状态压缩 DP、数位 DP、背包 DP（有时视为线性 DP 的子类）、概率 DP 和博弈 DP 等。下面我将详细介绍每个分类，包括定义、特点、适用场景，并给出典型例子。对于每个例子，我会简要描述问题、状态定义和转移方程。如果需要代码实现，我可以进一步提供（这里用 Python 示例）。

1. 线性 DP

定义与特点：问题可以沿着一个线性序列（如数组、字符串）进行处理，通常从左到右或从小到大递推。状态通常是一维或二维数组，转移简单，时间复杂度一般为 O(n) 或 O(n^2)。
适用场景：序列优化问题，如最长子序列、路径计数等。
例子：
- 斐波那契数列：计算第 n 项斐波那契数（F(n) = F(n-1) + F(n-2)）。
  - 状态：dp[i] 表示第 i 项的值。
  - 转移：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。
  - 边界：dp[0] = 0, dp[1] = 1。
  - 示例代码：
```
def fib(n):
    if n <= 1:
        return n
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    return dp[n]
# 示例：fib(5) = 5
```
- 最长递增子序列 (LIS)：给定数组，求最长递增子序列的长度。
  - 状态：dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长递增子序列长度。
  - 转移：dp[i] = max(dp[j] + 1) for j < i and nums[j] < nums[i]。
  - 边界：dp[i] = 1。

2. 区间 DP

定义与特点：问题涉及合并或处理区间（如数组的子区间），通常枚举区间的长度和起点，从小区间向大区间递推。状态是二维数组 dp[l][r]，表示区间 [l, r] 的最优值。
适用场景：区间合并、括号匹配等。
例子：
- 矩阵链乘法：给定 n 个矩阵的维度，求最小乘法次数。
  - 状态：dp[i][j] 表示从第 i 到第 j 个矩阵的最小乘法次数。
  - 转移：dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + dims[i-1]*dims[k]*dims[j]) for k in [i, j-1]。
  - 边界：dp[i][i] = 0。
  - 示例：矩阵尺寸 [10, 30, 5, 60]，最小乘法次数为 7500。
- 石子合并：n 堆石子合并成一堆的最小成本（相邻堆合并成本为石子数和）。
  - 状态：dp[i][j] 表示合并 [i, j] 堆的最小成本。
  - 转移：类似矩阵链乘法。

3. 树形 DP

定义与特点：在树结构上进行 DP，通常从叶子节点向上递推。状态定义在树节点上，可能包括子树的信息。常用 DFS 实现。
适用场景：树上的路径、覆盖、独立集等问题。
例子：
- 树上最大独立集：在树中选节点，使无相邻节点被选，且节点权值和最大。
  - 状态：dp[u][0] 表示不选 u 的最大值；dp[u][1] 表示选 u 的最大值。
  - 转移：dp[u][0] = sum(max(dp[v][0], dp[v][1]) for v in children)；dp[u][1] = weight[u] + sum(dp[v][0] for v in children)。
  - 边界：叶子节点 dp[u][0] = 0, dp[u][1] = weight[u]。
- 树的最长路径：求树中任意两节点的最长路径长度。

4. 状态压缩 DP

定义与特点：当状态数量不多时，用二进制位表示集合状态（比特位 DP）。状态通常是 dp[mask] 或 dp[i][mask]，mask 表示子集。
适用场景：组合优化，如子集问题，状态数不超过 2^20。
例子：
- 旅行商问题 (TSP)：从起点访问所有城市并返回的最短路径。
  - 状态：dp[mask][u] 表示访问过 mask 集合的城市，最后在 u 的最小距离。
  - 转移：dp[mask][u] = min(dp[mask - {u}][v] + dist[v][u]) for v != u。
  - 边界：dp[1<<start][start] = 0。
- Hamilton 路径：求图中访问所有节点一次的路径。

5. 数位 DP

定义与特点：处理数字的每一位，从高位到低位递推。状态包括当前位置、是否紧界（是否等于上限）、其他属性（如和的模）。
适用场景：统计 [1, n] 内满足条件的数字个数。
例子：
- 统计 [1, n] 内不含 49 的数字个数。
  - 状态：dp[pos][tight][has49] 表示从高位到 pos 位，tight 是否等于 n 的前缀，has49 是否已出现 49。
  - 转移：枚举当前位 d，更新下一位状态。
  - 边界：从最高位开始。

6. 背包 DP

定义与特点：经典优化问题，状态表示容量和物品选择。通常一维或二维数组，优化空间。
适用场景：资源分配、组合优化。
例子：
- 01 背包：n 物品，容量 V，求最大价值（每个物品选或不选）。
  - 状态：dp[i][v] 表示前 i 物品，容量 v 的最大价值。
  - 转移：dp[i][v] = max(dp[i-1][v], dp[i-1][v - w[i]] + val[i]) if v >= w[i]。
  - 优化：一维 dp[v] = max(dp[v], dp[v - w[i]] + val[i])（逆序）。
- 完全背包：物品无限选，转移正序。

7. 概率 DP

定义与特点：涉及概率计算，状态表示期望值或概率。转移基于概率加权。
适用场景：随机过程、游戏期望。
例子：
- 扔硬币期望：扔 n 次硬币，求达到 k 个正面的期望扔次数。
  - 状态：dp[i] 表示已有 i 个正面的期望剩余扔次数。
  - 转移：dp[i] = 1 + 0.5 * dp[i+1] + 0.5 * dp[i]（需解方程）。

8. 博弈 DP

定义与特点：两人博弈，状态表示当前局面下的最优值（胜负或分数）。常用 min-max。
适用场景：游戏、Nim 堆等。
例子：
- Nim 游戏：多堆石子，两人轮流取，求先手是否必胜。
  - 状态： Grundy 值（异或所有堆的 mex 值）。
- 取石子游戏：一堆石子，每次取 1~m 个，最后取者胜。

这些分类不是严格互斥的，有些问题可以归入多个类别（如背包可视为线性 DP）。在实际问题中，选择分类取决于问题结构。建议从简单线性 DP 开始练习，如 LeetCode 的 DP 专题。如果你有特定问题或需要代码实现某个例子，请提供更多细节！

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