5.0 KiB
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好的！先从“平衡树”的共同目标说起，再分别讲 AVL、红黑树、B-Tree，最后给一张对照表和选型建议。
什么是“平衡树”
“平衡树”都是在二叉搜索树（BST）或其多叉推广的框架上，通过限制高度来保证查找/插入/删除的时间复杂度稳定在 O(log n)。不同平衡树的“平衡标准”不同，越严格，高度越低（查找更快），但维护成本（旋转/分裂/合并）会更高。
AVL 树（Adelson-Velsky and Landis）
核心不变量
- 对任一节点，
|height(left) - height(right)| ≤ 1（平衡因子 ∈ {-1,0,+1}）。 - 通常在节点里存高度或平衡因子，插删后自底向上更新。
失衡与旋转
- LL 型 → 右旋
- RR 型 → 左旋
- LR 型 → 先左旋子节点再右旋
- RL 型 → 先右旋子节点再左旋
插入至多 1 次“单/双旋”（最多 2 次旋转）；删除可能沿路径多处修复（最坏
O(log n)次）。
复杂度与性质
- 查找/插入/删除：
O(log n) - 高度上界：约
≈ 1.44 * log2(n)（非常低） - 优点：查找性能最稳定、树更矮
- 缺点：更新更“敏感”，旋转相对多；实现需维护高度
适用
- 查多改少或对最坏时延敏感的内存场景（如需要更低树高的索引、路由表等）
红黑树（Red-Black Tree）
核心不变量（颜色与黑高）
- 根为黑；2) 叶子（NIL）为黑；
- 红节点不能有红孩子（红红不相邻）；
- 任一节点到其后代 NIL 的所有路径具有相同黑高。
插删修复
- 通过着色 + 旋转修复；
- 插入：至多 2 次旋转；删除：至多 3 次旋转（但可能多次“上溯”重着色）。
复杂度与性质
- 查找/插入/删除：
O(log n) - 高度上界：
≤ 2 * log2(n+1)（比 AVL 略高） - 优点：更新旋转次数少、实现成熟、工业广泛使用
- 缺点：查找平均高度略高于 AVL
适用
- 查改均衡的通用有序容器场景。C++ 的
std::map/std::set通常用红黑树实现；大多数语言标准库的有序映射/集合也选择红黑树。
B-Tree（多叉平衡搜索树）
（数据库/文件系统的主角，常用的是 B+ 树变体）
结构
- 每个节点可有最多
m个孩子（多叉），节点里存有序键数组与孩子指针； - 所有叶子在同一层；
- 除根外：每个节点的键数在
[ceil(m/2)-1, m-1]之间（保证“半满”）。
为何快（外存友好）
- 把一个节点的键打包成一页（如 4KB），一次 I/O 读入很多键；
- 分支因子大（几百级），高度极低，因此磁盘/SSD 的随机 I/O 次数很少。
- 复杂度常写作
O(log_m n)（以分支因子为底），I/O 次数非常小。
插入/删除
- 插入：若目标节点满则分裂（把中间键上推给父节点），可能层层上推到根，根也满则新建根，高度+1；
- 删除：若节点“欠满”，先向兄弟借键，不行再合并，可能向上连锁。
B+ 与 B*
- B+ 树：所有数据都在叶子，内节点只存键；叶子链表天然支持范围扫描与顺序遍历（数据库最常见）。
- B*：更激进的“借/并”策略，节点利用率更高（≥ 2/3 满），进一步减少高度与 I/O。
适用
- 磁盘/SSD 上的大规模索引：数据库（如 InnoDB 使用 B+ 树）、文件系统、KV 存储等。
- 内存里也可用，但优势主要在外存局部性与范围扫描。
对照速览
| 维度 | AVL | 红黑树 | B-Tree / B+ |
|---|---|---|---|
| 结构 | 二叉 | 二叉（带颜色） | 多叉（分支因子大） |
| 平衡标准 | 每节点左右高差 ≤ 1 | 黑高相等、红红不相邻 | 节点半满，叶子同层 |
| 高度 | 最矮（≈ 1.44 log₂ n） | 略高（≤ 2 log₂ n） | 极矮（logₘ n） |
| 查找 | 最稳定 | 稍逊于 AVL | 节点内二分后 I/O 极少 |
| 插入/删除 | 旋转较多 | 旋转较少 + 着色 | 分裂/合并，页级操作 |
| 范围扫描 | 好 | 好 | 最好（B+ 叶子链） |
| 典型场景 | 内存、查多改少 | 通用有序容器 | 外存索引/数据库 |
什么时候选谁？
- 内存、查多改少、追求极低高度 → 选 AVL。
- 内存、查改都多、工程通用与易用性 → 选 红黑树（标准库同款）。
- 磁盘/SSD、大数据、范围查询 → 选 B+ 树 / B-Tree（页友好，极少 I/O）。
如果你愿意，我可以再给你：
- AVL 和红黑树的旋转小抄（带 4 种失衡示意）；
- B+ 树节点尺寸推算（给定页大小、键宽/指针宽，估算分支因子与高度）；
- 一段C++ 伪代码/最小实现骨架帮助你在题目里自写平衡树。