124 lines
5.0 KiB
Markdown
124 lines
5.0 KiB
Markdown
好的！先从“平衡树”的共同目标说起，再分别讲 AVL、红黑树、B-Tree，最后给一张对照表和选型建议。
|
||
|
||
# 什么是“平衡树”
|
||
|
||
“平衡树”都是在**二叉搜索树（BST）**或其多叉推广的框架上，通过**限制高度**来保证查找/插入/删除的时间复杂度稳定在 `O(log n)`。不同平衡树的“平衡标准”不同，越严格，高度越低（查找更快），但维护成本（旋转/分裂/合并）会更高。
|
||
|
||
---
|
||
|
||
# AVL 树（Adelson-Velsky and Landis）
|
||
|
||
**核心不变量**
|
||
|
||
* 对任一节点，`|height(left) - height(right)| ≤ 1`（平衡因子 ∈ {-1,0,+1}）。
|
||
* 通常在节点里存高度或平衡因子，插删后自底向上更新。
|
||
|
||
**失衡与旋转**
|
||
|
||
* LL 型 → 右旋
|
||
* RR 型 → 左旋
|
||
* LR 型 → 先左旋子节点再右旋
|
||
* RL 型 → 先右旋子节点再左旋
|
||
|
||
> 插入至多 1 次“单/双旋”（最多 2 次旋转）；删除可能沿路径多处修复（最坏 `O(log n)` 次）。
|
||
|
||
**复杂度与性质**
|
||
|
||
* 查找/插入/删除：`O(log n)`
|
||
* 高度上界：约 `≈ 1.44 * log2(n)`（非常低）
|
||
* 优点：查找性能最稳定、树更矮
|
||
* 缺点：更新更“敏感”，旋转相对多；实现需维护高度
|
||
|
||
**适用**
|
||
|
||
* **查多改少**或对**最坏时延敏感**的内存场景（如需要更低树高的索引、路由表等）
|
||
|
||
---
|
||
|
||
# 红黑树（Red-Black Tree）
|
||
|
||
**核心不变量（颜色与黑高）**
|
||
|
||
1. 根为黑；2) 叶子（NIL）为黑；
|
||
2. 红节点不能有红孩子（红红不相邻）；
|
||
3. 任一节点到其后代 NIL 的所有路径具有**相同黑高**。
|
||
|
||
**插删修复**
|
||
|
||
* 通过**着色 + 旋转**修复；
|
||
* 插入：至多 2 次旋转；删除：至多 3 次旋转（但可能多次“上溯”重着色）。
|
||
|
||
**复杂度与性质**
|
||
|
||
* 查找/插入/删除：`O(log n)`
|
||
* 高度上界：`≤ 2 * log2(n+1)`（比 AVL 略高）
|
||
* 优点：更新旋转次数少、实现成熟、工业广泛使用
|
||
* 缺点：查找平均高度略高于 AVL
|
||
|
||
**适用**
|
||
|
||
* **查改均衡**的通用有序容器场景。C++ 的 `std::map`/`std::set` 通常用红黑树实现；大多数语言标准库的有序映射/集合也选择红黑树。
|
||
|
||
---
|
||
|
||
# B-Tree（多叉平衡搜索树）
|
||
|
||
（数据库/文件系统的主角，常用的是 **B+ 树**变体）
|
||
|
||
**结构**
|
||
|
||
* 每个节点可有最多 `m` 个孩子（多叉），节点里存**有序键数组**与孩子指针；
|
||
* **所有叶子在同一层**；
|
||
* 除根外：每个节点的键数在 `[ceil(m/2)-1, m-1]` 之间（保证“半满”）。
|
||
|
||
**为何快（外存友好）**
|
||
|
||
* 把一个节点的键打包成**一页（如 4KB）**，一次 I/O 读入很多键；
|
||
* 分支因子大（几百级），**高度极低**，因此磁盘/SSD 的随机 I/O 次数很少。
|
||
* 复杂度常写作 `O(log_m n)`（以分支因子为底），I/O 次数非常小。
|
||
|
||
**插入/删除**
|
||
|
||
* **插入**：若目标节点满则**分裂**（把中间键上推给父节点），可能层层上推到根，根也满则新建根，高度+1；
|
||
* **删除**：若节点“欠满”，先向兄弟**借键**，不行再**合并**，可能向上连锁。
|
||
|
||
**B+ 与 B\***
|
||
|
||
* **B+ 树**：所有**数据都在叶子**，内节点只存键；叶子链表天然支持**范围扫描**与顺序遍历（数据库最常见）。
|
||
* **B\***：更激进的“借/并”策略，节点利用率更高（≥ 2/3 满），进一步减少高度与 I/O。
|
||
|
||
**适用**
|
||
|
||
* **磁盘/SSD** 上的大规模索引：数据库（如 InnoDB 使用 B+ 树）、文件系统、KV 存储等。
|
||
* 内存里也可用，但优势主要在外存局部性与范围扫描。
|
||
|
||
---
|
||
|
||
# 对照速览
|
||
|
||
| 维度 | AVL | 红黑树 | B-Tree / B+ |
|
||
| ----- | ----------------- | -------------- | -------------- |
|
||
| 结构 | 二叉 | 二叉（带颜色） | 多叉（分支因子大） |
|
||
| 平衡标准 | 每节点左右高差 ≤ 1 | 黑高相等、红红不相邻 | 节点半满，叶子同层 |
|
||
| 高度 | 最矮（≈ 1.44 log₂ n） | 略高（≤ 2 log₂ n） | **极矮**（logₘ n） |
|
||
| 查找 | 最稳定 | 稍逊于 AVL | 节点内二分后 I/O 极少 |
|
||
| 插入/删除 | 旋转较多 | 旋转较少 + 着色 | 分裂/合并，页级操作 |
|
||
| 范围扫描 | 好 | 好 | **最好**（B+ 叶子链） |
|
||
| 典型场景 | 内存、查多改少 | 通用有序容器 | 外存索引/数据库 |
|
||
|
||
---
|
||
|
||
# 什么时候选谁？
|
||
|
||
* **内存、查多改少、追求极低高度** → 选 **AVL**。
|
||
* **内存、查改都多、工程通用与易用性** → 选 **红黑树**（标准库同款）。
|
||
* **磁盘/SSD、大数据、范围查询** → 选 **B+ 树 / B-Tree**（页友好，极少 I/O）。
|
||
|
||
---
|
||
|
||
如果你愿意，我可以再给你：
|
||
|
||
1. **AVL 和红黑树的旋转小抄**（带 4 种失衡示意）；
|
||
2. **B+ 树节点尺寸推算**（给定页大小、键宽/指针宽，估算分支因子与高度）；
|
||
3. 一段**C++ 伪代码/最小实现骨架**帮助你在题目里自写平衡树。
|